简短地记载一下之前师兄问的一个问题的探讨。
是这样子的，实验室一个师兄之前要做一个仿真，里面需要仿一个信号源，这个信号源的频率要随正弦变换，也就是时频图如下图所示的那种信号：
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几个月前写过一篇关于分析用傅里叶变换来计算频率与选取正弦波周期数的关系的博文，今天来讨论一下计算幅度的问题。
不过在此之前还是请让我重述一下下面这两个已经老生常谈的东西（写毕业论文不就是这样么，前面都是一大堆本科生都懂的常识性东西。。）：
一，对于离散序列的连续时间傅里叶变换DTFT，得到的结果是一个连续的，以2\(\pi\)为周期的函数。而FFT，是快速傅里叶变换的英文简称，它所做的，不是离散时间傅里叶变换DTFT，而是离散傅里叶变换DFT，也就是说，它把一个离散序列变换完，得到的是一个离散的序列，那么这个离散的序列和DTFT得到的连续周期函数有什么关系呢？我们可以认为它是后者的一个周期的采样的结果。
二，理论上来说正弦函数sin(ωt)的傅里叶变换结果应该是两个无穷细的冲激函数，但是FFT出来的结果应该是如下图所示，原因吉布斯(振铃)现象在之前那篇博文里面已经解释过了，这里就不累述了！ 阅读全文…
这是最近研究的一个很有意思的东西~
之前发了一篇笔记式的AR谱分析算法的东西，当时说了，AR模型是谱分析里面最最最基础的模型算法，它的思想就是通过一个采样得到的信号x[n]，算出一系列AR参数ai来，使得下式重构出来的信号与原来的信号误差最小：
\(x_{re}[n]=-\sum_{i=1}^{p}a_ix[n-i]\)
或者说计算出一系列AR参数ai来，使得\(x[n]=-\sum_{i=1}^{p}a_ix[n-i]\)成立！
其中ai的个数，也就是上式中的p，就是AR模型的阶数，之前那篇博文就列举和对比了几种计算ai的算法及仿真。
然后就是今天的主角，Prony模型，如果要阅读下去，首先要对上面的那几行要有所理解，因为Prony是基于AR模型来求解的！！
首先什么是Prony模型呢？Prony模型就是说，我们把原来的信号分解成下式：
\(x(t)=\sum A_ie^{(\alpha_i+j\omega_i)t}\)
说明几点，首先就是说，上面的式子表示，Prony模型构建思想就是把原始信号x(t)分解成一系列的不同幅度，不同衰减系数，不同频率的信号的叠加。就好像傅里叶变换是把原始信号分解成一系列不同频率幅度的正弦信号的和一样，只是我们这里多了个衰减系数αi，其他参数也解释一下，ωi就是每个子信号的频率，Ai是信号的幅度，必须一提的是，Ai可以是个复数，什么意思？就是说每个子信号还可以有一定的初始相位，懂？
哦，对，另外一点就是，离散信号的话，就是把上式的t变成nΔt就行了嘛。
然后Prony模型要干的事自然就是把这个振幅相位频率衰减全部给求解出来啦~没错，Prony模型就是根据采样得到的信号x[n]把每个子信号上述三个参数给解出来！！ 阅读全文…
其实这是比较久之前就抱有一点疑问的问题了，除去项目各种相关知识后的问题起源描述是这样子的，有一个正弦波，它只有2~5个周期左右，然后请确定出它的频率来。
不过有两点需要说明一下：
第一点，在实际项目中采回来的数据，不可能是完美的正弦信号，有可能有相位噪声或者幅度噪声什么的，因为我们微波光子学研究的频率是GHz~THz这种数量级的，所以畸变是必然的，但是！！！！我们这里不涉及这方面，讨论的就是完美的正弦信号。
第二点，实际上当一个信号只有2~5个周期这种时候，是不应该用傅里叶变换的，因为傅里叶对瞬时信号或者短信号相对之下是比较”无能”的，但是我们还是不管，我们这里分析的就是福利叶变换对完美的短周期数正弦信号的频率定位问题。
首先，我们知道一个正弦信号的傅里叶变换应该如下图所示的，下图是一个频率为100Hz的正弦波在1kHz的采样频率下得到的数字信号及其傅里叶变换。 阅读全文…
学数字信号处理的时候都会接触到的三个东西就是数字频率，模拟频率，采样频率，这三个东西其实挺好懂得，但是一旦涉及到编程那些东西好像很容易出错，而且一般都是比较难查的。然后一旦到了数字滤波器那些东西，又来什么归一化频率的，就更乱了，加上数字福利叶变换后频率就变成-π到π了，然后又有人搞不懂了。。
趁我现在脑子清新，概念还比较清晰，这里整理一下，也方便将来我又分不清东南西北的时候可以回来复习复习，如果有找不着北的孩子看到这个，希望对你有帮助。
首先我们解释模拟频率，数字频率和采样频率。
假设我们有一小段正弦信号sin(2 π f t),不要考虑任何数字化的东西，这个f就叫做模拟频率。假设f=100，那么我们高中知识知道这个正弦信号的周期是1/f，也就是0.01，也就是说0.01的时间t里面正弦信号变化的一周，我们就知道从0到1里面变化了100次，也就是f次，所以我们才把f叫做频率的。 阅读全文…
