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布拉格光栅反射谱笔记

2012年11月21日 发表评论 阅读评论

总觉得这个博客学术方面至少要来一篇不是讲数学,编程,算法,人工智能的东西,不然,怎么对得起我要学三年的光电子学,不然怎么对得起我老板,TAT,是吧。。。

作为开篇,也作为我学习这个专业后唯一懂得的关于光学的一点东西,反正接下来还要继续搞这个项目,所以先做一下笔记吧~

光栅,就是在光线里面写入特定的周期性的结构,来时的光线具有某种特殊的特性。(是不是觉得比起我以前咯哩八说的,现在这种直切主题的做法很不习惯咧~)

然后布拉格光栅(Fiber Bragg Grating,FBG)呢,是这样一种东西,首先我们有一条光纤,光线的折射率是n0,然后现在我们在上面改变其中一段的折色率,变成什么呢,变成n0+Δncos(Kz),z是沿着光纤方向的位置坐标,也就是说在原本折射率的基础上,叠加了一个呈余弦变化的折射率(一般这个称为微扰折射率),而且这个幅度Δn是非常小的,n0这种一般是2~5左右,但是Δn一般是10-4这种数量级的。

加入了这种折射率变化之后会有什么变化呢?嗯,原本折射率处处相等的光线可以让任何波长的光都通过(不考虑色散等任何别的作用),相当于一个全通的滤波器,现在加上这个之后呢?就变成了一个带阻滤波器。透射谱是带阻滤波器,那么反射谱就是1减去透射谱,那就是一个带通滤波器。一般课本论文里讨论的都是反射谱。FBG的带通的频谱性质类其余一个Sinc函数(这里说的当然是反射谱)。

唉,好烦,下面要敲公式了。。

反射谱公式表示就是:

\(R(l,\lambda)=\dfrac{\Omega^2sinh^2(sl)}{\Delta k^2sinh^2(sl)+s^2cosh^2(sl)}\)

这里l是相互作用长度,λ不用说,就是波长。

除了l和λ,这里引进了几个参数,Ω,Δk,s;这几个参数的计算我们一步一步来。

首先是Ω,这个我们一般称之为交流耦合系数:

\(\Omega=\dfrac{\pi\Delta n}{\lambda}\)

然后再计算Δk,我们还是先说明一下另一个东西,之前不是说微扰折射率等于Δncos(Kz)么,那么这个微扰对应的长度上的周记变化Λ应该等于:

\(\Lambda=\dfrac{2\pi}{K}\)

然后就可以计算Δk了,它等于:

\(\Delta k=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{\pi}{\Lambda}\)

Δk也叫做直流耦合系数,不过呢,这个Δk是个近似解,我们现在这里说明一下,然后后文会告诉你精确解,以及为什么可以这样近似。

反射谱公式还有最后一个参数,s:

s = Ω2-Δk2

这样我们就可以根据这些参数画出R的波形来了,我们在mathematica上画一下,结果如下图所示:

FBG很像Sinc的波形不是么?

根据反射谱,我们可以计算出在λMAXB(1+Δn/n0)的地方取得最大值。好吧,有一个新的变量,λB,布拉格波长它等于:

\(\lambda_B=2n_0\Lambda\) 

这样我们就可以推出:

\(\quad\lambda_{Max}\\=\lambda_B(1+\dfrac{\Delta n}{n_0})\\=2n_0\Lambda(1+\dfrac{\Delta N}{n_0})\\\approx2n_0\Lambda\)

所以呢,如果 我们想要获得一个FBG,使得它的反射谱在λMAX处取得最大值,那么我们就要刻出一个余弦的折射率微扰,它的周期就是:

\(\Lambda\approx\dfrac{\lambda_{MAX}}{2n_0}\)

也算精确解也可以:

\(\Lambda\approx\dfrac{\lambda_{MAX}}{2n_0(1+\Delta n/n_0)}\)

现在我们知道在λMAX处取得反射谱的最大值了,最大值是多少呢?

Rmax = tanh2(Ω l)

现在再说一下刚才说的Δk不是精确解这个问题,刚才为什么不说呢,是因为刚才还没有提及到λB这玩意儿,现在我们可以给出Δk的精确表达式了:

\(\Delta k=2\pi n_0(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda_B})+\dfrac{2\pi\Delta n}{\lambda}\)

在Δn<<n0的情况下,上式就变成:

\(\quad\Delta k=\\=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}+\dfrac{2\pi \Delta n}{\lambda}-\dfrac{2\pi n_0}{\lambda_B}\\\approx\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{2\pi n_0}{2n_0\Lambda}\\=\dfrac{2\pi n_0}{\lambda}-\dfrac{\pi}{\Lambda}\)

这就回到之前的那个近似表达式了。

嘛,这其实不是什么推导啊什么的,只是我的笔记而已,如果你想知道为什么R的表达式是最上面那个,那你要从微扰耦合那些东西说起,唉,那些东西敲起公式来就更加想死了,所以,我就不在这里胡说八道了。

下面给一段计算R得matlab代码:


Code:

clc;
lambdaB=1553 * 1e-9;
n=1.45;
delta_n=2.0e-3;
L=1e-3;
syms x
omega=pi*delta_n/x;%交流耦合系数

delta_k=2*pi*n*(1/x-1/lambdaB)+2*pi/x*delta_n;%直流耦合系数  精确
% delta_k = 2*pi*n/x-pi*2*n/lambdaB+2*pi*delta_n/x; % 精确
% delta_k = 2*pi*n/x-pi*2*n/lambdaB+2*pi*delta_n/x;%%近似

s = sqrt(omega^2-delta_k^2);

% p=-K*sinh(s*L)/[D*sinh(s*L)+i*s*cosh(s*L)];%反射系数
% r=(abs(p))^2;%反射率
r = omega^2*sinh(s*L)^2 / (delta_k^2*sinh(s*L)^2 + s^2*cosh(s*L)^2);

lamdaRange = [1549.9 1559.9];
lambda=(lamdaRange(1):0.0001:lamdaRange(2))* 1e-9;
R=subs(r,x,lambda);
plot(lambda,R,'b');
xlim(lamdaRange*1e-9);
%%绘制最大值点
hold on;
plot(lambdaB+dn*lambdaB/n,subs(tanh(omega*L)^2,x,lambdaB),'ro');

【完】

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