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关于势能的小笔记

2012年7月28日 发表评论 阅读评论

大概是在大一结束时,在体会到变分法的神奇之后,我曾经对分析力学狂热了好久一阵子!尤其是基友推荐的朗道力学,细细的读了许久,一般不会做什么笔记的我都在一个笔记本上做了不少笔记。其实嘛,做笔记是因为那些分析力学那些东西如果你对着书本看着它一步步推导,你会觉得无比的神奇,然而脱离的书本之后我发现我什么都推不出来,所以才做笔记的。。

然后在闲谈一下分析力学这玩意儿吧,按照一个物理系基友的说法就是,高中的那些题,比起高中生那些解法,你用分析力学的角度去解决,你会比别人花多好几倍的时间,去得到一个一样的结果,然而,你却会觉得你很牛逼。。。(好吧,这玩意儿对于非物理系的孩子来说,确实可以装逼。。)

要说分析力学是什么,在我这种半路出家学分析力学然后有半路就还俗的人来说,就是纯数学家搞出来的物理。。。对于他们来说一开始就只有一个相对性原理(是么?),然后搞出个最小作用量,说明运动所应该遵循的规律,之后的什么推导都是基于纯数学的,也就是说我们只学过高中物理的人去理解这种东西,你必须要抛弃很多物理上的模型。举个例子,速度对于他们来说就是dr/dt,再比如说分析力学里面推导动量守恒和能量守恒,对于弄分析力学的孩子来说,在他们眼中他们突然发现了碰撞前后(他们理解碰撞是什么东西么?)两个物体的速度分别乘以一个常数的和是守恒的,他们并不会带着这个常数就是物体的质量这个想法继续推导,然后他们会惊讶地发现能量守恒里面居然也有一个相同的常数!!这,实在是太神奇了!!虽说嘛,对于大部分人来说这很普通,简直就是常识,但是如果一步一步跟着推导过来,你还是会被里面的神奇所折服。而且,用纯数学的方法可以得到物理力学上更为普遍的规律,达到一些高中的想法所没办法达到的规律。


我们高中知道,在不同情况下的势能表达式是不一样的,比如说重力势能是mgh,引力势能那种情况下是\(-\dfrac{GMm}{r}\),不同点主要取决于势能与距离r的关系,笼统的可以概括成下面这个式子:

r是广义坐标,假设坐标变成了\(\alpha\)倍,时间t变成了\(\beta\)倍的话,

\(v=\dfrac{dr}{dt}\),就会变成\(\dfrac{\alpha}{\beta}\)倍,势能\(\dfrac{1}{2}mv^2\)就会变成\(\dfrac{\alpha^2}{\beta^2}\)倍,而势能就会变成\(\alpha^k\)倍;

如果\(\dfrac{\alpha^2}{\beta^2}=\alpha^k\)的话,即\(\beta=\alpha^{1-\dfrac{1}{2}}\)那么拉格朗日量乘以\(\alpha^k\)后,运动方程不变。(不懂不要紧)

此时就会有:

\(\dfrac{t'}{t}=(\dfrac{l'}{l})^{1-\dfrac{k}{2}}\)

后面还有一些结论这里就不说了,我们直接看上式;

对于重力场来说,k=1,此时L和t2成正比,这就是重力加速度下的运动关系了!!

对于微震动来说,k=2,此时我们就发现t与L没关系,也就是单摆周期与振幅无关。

对于天体运动,k = -1,此时t和L3/2成正比,嗯,没错,这就是开三!

好吧,其余的感兴趣大家自个儿去研究吧,分析力学里面可以把以前大家学的种种不同的力学情况统一起来的!!


【完】

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